Question

10．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，M、N分别是C₁D₁、CD的中点，则异面直线A₁N和B₁M所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• B． 0
• C． $\frac{\sqrt{15}}{10}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能示求出异面直线A₁N和B₁M所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，M、N分别是C₁D₁、CD的中点，
∴A₁（2，0，1），N（0，1，0），B₁（2，2，1），M（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-2，1，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-2，-1，0），
设异面直线A₁N和B₁M所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}N}•\overrightarrow{{B}_{1}M}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}N}|•|\overrightarrow{{B}_{1}M}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线A₁N和B₁M所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．