Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求证：平面A₁BC⊥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABC可得AA₁⊥CD，由等腰三角形ABC可得AB⊥CD，故CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）连结AC₁，BC₁，设BC₁∩B₁C=E，则由中位线定理得出DE∥AC₁，故而AC₁∥平面CDB₁；
（3）可证明DE的平行线AC₁⊥平面A₁BC，得到DE⊥平面平面A₁BC，从而得出平面A₁BC⊥平面CDB₁．

解答 证明：（1）∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面平面A₁ABB₁，AB?平面A₁ABB₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（2）连结AC₁，BC₁，设BC₁∩B₁C=E，
∵四边形BB₁C₁C是平行四边形，
∴E是BC₁的中点，又D是AB的中点，
∴DE∥AC₁，∵DE?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，又AC⊥BC，AC?平面AA₁C₁C，AA₁?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，∵AC₁?平面AA₁C₁C，
∴BC⊥AC₁，
∵AA₁C₁C是矩形，∴AC₁⊥A₁C，
又A₁C?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，又AC₁∥DE，
∴DE⊥平面A₁BC，∵DE?平面B₁DC，
∴平面A₁BC⊥平面CDB₁．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定，构造平行线DE是证明本题的关键．