Question

19．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，a₁=-1，a₂=2，满足S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），则a₁₀₀=9998．

Answer 1

分析 S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），可得S_n+2=3S_n+1-2S_n-a_n+2，a₃=7．相减可得：a_n+2=3a_n+1-3a_n-a_n-1，变形为：（a_n+2-a_n+1）+（a_n-a_n-1）=2（a_n+1-a_n），利用等差数列的通项公式可得：a_n+1-a_n，再利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：∵S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），
可得S_n+2=3S_n+1-2S_n-a_n+2，a₃=7．
∴a_n+2=3a_n+1-3a_n-a_n-1，
变形为：（a_n+2-a_n+1）+（a_n-a_n-1）=2（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为3，公差d=（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=5-3=2．
∴a_n+1-a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∴a₁₀₀=（a₁₀₀-a₉₉）+（a₉₉-a₉₈）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2×99+1）+（2×98+1）+…+（2×1+1）+（-1）=$2×\frac{99×（1+99）}{2}$+99-1=9998．
故答案为：9998．

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法、等差数列的相同公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．