Question

8．如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC与ED所成的角的大小．

解答 解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，
∴∠EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角）．
设AP=BC=2，
∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，
∴由已知，AC=EA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{7}$，EF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴cos∠EDF=$\frac{D{E}^{2}+D{F}^{2}-E{F}^{2}}{2×DE×DF}$=$\frac{2+\frac{1}{4}-\frac{7}{4}}{2×\sqrt{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴异面直线AC与ED所成的角为arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．