Question

3．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为1，点P在体对角线上，PB=$\frac{1}{3}$PB′，则P点坐标为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$$，\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{1}{6}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意，设出点P（x，y，z），结合题意利用坐标表示列出方程组，求出解即可．

解答 解：如图所示，

设点P（x，y，z），且点B（1，1，0），B′（1，1，1），D′（0，0，1）；
∵点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD′，∴x=y①，
又PB=$\frac{1}{3}$PB′，
∴（x-1）²+（y-1）²+z²=$\frac{1}{9}$[（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²]②，
又$\overrightarrow{PB}$与$\overrightarrow{BD′}$共线，∴$\frac{x-1}{-1}$=$\frac{y-1}{-1}$=$\frac{z}{1}$③；
由①②③组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{6}}\\{y=\frac{5}{6}}\\{z=\frac{1}{6}}\end{array}\right.$；
∴P点坐标为（$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{1}{6}$）．
故选：C．

点评 本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目．