Question

12．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₃，a₂+1，a₁成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，分别取n=1，2，3，可得：a₂=2a₁，a₃=4a₁．由a₃，a₂+1，a₁成等差数列．可得2（a₂+1）=a₁+a₃，解得a₁=2．再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，∴a₁=2a₁-a₁，a₁+a₂=2a₂-a₁，a₁+a₂+a₃=2a₃-a₁，
解得a₂=2a₁，a₃=4a₁．
∵a₃，a₂+1，a₁成等差数列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-a₁-（2a_n-1-a₁），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$+2（1+2+…+n）
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+2×$\frac{n（1+n）}{2}$
=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$+n+n²．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．