Question

7．如图是一个以△A₁B₁C₁为底面的直角三棱柱被一平面截得的几何体，截面为△ABC，已知AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A₁B₁C₁？

Answer 1

分析 作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D，根据梯形中位线定理及平行四边形判定定理，可得四边形ODC₁C是平行四边形，进而OC∥C₁D，根据线面平行的判定定理，可得OC∥平面A₁B₁C₁．

解答 证明：在边AB上存在AB的中点O，使得OC∥平面A₁B₁C₁．
取AB的中点O，作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D，
则OD∥BB₁∥CC₁，
因为O是AB的中点，
所以OD=$\frac{1}{2}$（AA₁+BB₁）=3=CC₁，
则四边形ODC₁C是平行四边形，
因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，
且OC?平面C₁B₁A₁，
则OC∥平面A₁B₁C₁．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．