Question

19．已知等差数列的{a_n}前n项和为S_n，且S₃-2a₂=3，S₄=16；数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）2ⁿ+1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n（n∈N^*），当n为奇数时，求T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）设等差数列的{a_n}的公差为d，由S₃-2a₂=3，S₄=16，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．由数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）2ⁿ+1，利用递推关系即可得出．
（2）c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n=（2n-1）+（-1）ⁿ（n-1），利用等差数列的前n项和公式分组求和即可得出．

解答 解：（1）设等差数列的{a_n}的公差为d，∵S₃-2a₂=3，S₄=16，
∴$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}$d-2（a₁+d）=3，$4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d$=16，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）2ⁿ+1，
∴b₁=1；n≥2时，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=（n-2）2^n-1+1，
∴nb_n=n•2^n-1，可得b_n=2^n-1（n=1时也成立）．
∴b_n=2^n-1．
（2）c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n=（2n-1）+（-1）ⁿ（n-1），
数列{c_n}的前n项和为T_n（n∈N^*），当n为奇数时，
T_n=[1+3+…+（2n-1）]+[0+1-2+…-（n-1）]
=$\frac{n×（1+2n-1）}{2}$-$\frac{n-1}{2}$=n²-$\frac{n}{2}$$+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．