Question

13．设数列{a_n}的前n项和记为S_n，且S_n=2-a_n，n∈N^*，设函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，且满足b_n=f（a_n）-3．
（1）求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得a_n，再利用对数的运算性质可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）S_n=2-a_n，n∈N^*，∴n=1时，a₁=2-a₁，解得a₁=1．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2-a_n-（2-a_n-1），化为：a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，且满足b_n=f（a_n）-3．
∴b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{2}）^{n-1}$-3=n-4．
（2）c_n=a_n•b_n=（n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴{c_n}的前n项和为T_n=-3-2×$\frac{1}{2}$-$（\frac{1}{2}）^{2}$+0+…+（n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
$\frac{1}{2}$T_n=$-3×\frac{1}{2}$-2×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-5）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+（n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$-3+\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$-（n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n}$=$-4+\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-（n-4）×$（\frac{1}{2}）^{n}$=-2-（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴T_n=-4-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$．
∴T_n+1-T_n=$-4-\frac{n-1}{{2}^{n}}$-$（-4-\frac{n-2}{{2}^{n-1}}）$=$\frac{n-3}{{2}^{n}}$，
∴n≤3时，T_n+1≤T_n；n≥4时，T_n+1＞T_n．
即T₁＞T₂＞T₃=T₄＜T₅＜…．
∴T_n的最小值是T₃=T₄=$-\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、对数的运算性质、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．