Question

1．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=$\sqrt{3}$，PD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）在△PBD中，∠PBD=30°，点E在PB上且BE=3PE，求三棱锥P-CDE的体积．

Answer 1

分析 （I）根据PD⊥底面ABCD得PD⊥BC，由勾股定理的逆定理得出BC⊥BD，故BC⊥平面PBD，于是平面PBC⊥平面PBD；
（II）在Rt△PBD中，求出DP，由E为PB的四等分点得出S_△PDE=$\frac{1}{4}{S}_{△PBD}$，于是V_P-CDE=V_C-PDE=$\frac{1}{3}{S}_{△PDE}•BC$．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC=1，CD=2，BD=$\sqrt{3}$，
∴CD²=BC²+BD²，∴BC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，又PD?平面PBD，BD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：在Rt△PBD中，∵∠PBD=30°，BD=$\sqrt{3}$，∴PD=1，
∵BE=3PE，∴S_△PDE=$\frac{1}{4}{S}_{△PBD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
∴V_P-CDE=V_C-PDE=$\frac{1}{3}{S}_{△PDE}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{8}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．