Question

13．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a=2，c=5，$cosB=\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求边b的值；                      
（Ⅱ）求sinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，由此能求出b的值．
（Ⅱ）先求出$sinB=\frac{4}{5}$，再由正弦定理，能求出sinC的值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，
a=2，c=5，$cosB=\frac{3}{5}$．
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
∴${b^2}=4+25-2×2×5×\frac{3}{5}=17$，
解得$b=\sqrt{17}$．
（Ⅱ）∵$cosB=\frac{3}{5}$，B∈（0，π），
∴$sinB=\frac{4}{5}$，
由正弦定理，得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，$\frac{{\sqrt{17}}}{{\frac{4}{5}}}=\frac{5}{sinC}$，
解得$sinC=\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题考查三角形的边长及角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．