Question

6．已知数列{a_n}各项均为正数，且a₁=1，a_n+1²-a_n+1=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{a_n^2}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，{a_n}各项均为正数，可得a_n+1-a_n=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$，当n≥2时 $\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：由已知得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵{a_n}各项均为正数，∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）证明：由（1）知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$，
当n≥2时  $\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴${T_n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}$$≤1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=2-\frac{1}{n}＜2$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．