Question

16．已知等差数列{a_n}满足a₄-a₂=2，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）公差为d由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{2d=2}\\{{a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{7}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，解得即可．
（Ⅱ）根据裂项求和法即可求出．

解答 解：（Ⅰ）设公差为d
由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{2d=2}\\{{a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{7}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$     
解得：a₁=2，d=1                         
所以a_n=n+1                           
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）               
所以S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

点评 本题主要考查等差数列等比数列概念、通项等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想