Question

14．已知命题p：y=sin（x-$\frac{π}{2}}$）在（0，π）上是减函数；命题q：“a=$\sqrt{3}$”是“直线x=$\frac{π}{6}$为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件．则下列命题为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． ￢p∧￢q
• C． ￢p∧q
• D． p∧￢q

Answer 1

分析 分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．

解答 解：∵0＜x＜π，∴-$\frac{π}{2}$＜x-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴y=sin（x-$\frac{π}{2}}$）在（0，π）上是增函数，
命题p是假命题；
若a=$\sqrt{3}$，则f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
对称轴x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，∴x=kπ+$\frac{π}{6}$，是充分条件，
若直线x=$\frac{π}{6}$为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴，
则f（$\frac{π}{6}$-x）=f（$\frac{π}{6}$+x）  当x=$\frac{π}{6}$即f（0）=f（$\frac{π}{3}$）
∴f（0）=a=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{a}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$，
故命题q是真命题；
则命题￢p∧q是真命题，
故选：C．

点评 本题考查了三角函数问题，考查复合命题的真假，是一道基础题．