Question

5．如图所示的几何体P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AD∥BC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PB⊥AC．
（1）证明：PA=PC；
（2）证明：CF∥平面PBE．

Answer 1

分析 （1）设AC，BE的交点为O，连结PO．通过证明AC⊥平面PBE得出AC⊥PO，从而得出△POA≌△POC，于是PA=PC．
（2）取PE的中点M，连结FM，BM．利用中位线定理证明四边形BCFM是平行四边形，得出CF∥BM，从而得出CF∥平面PBE．

解答 证明：（1设AC，BE的交点为O，连结PO．
∵AD∥BC，AE=BC=AB，
∴四边形ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OA=OC．
又AC⊥PB，BE，PB?平面PBE，PB∩BE=B，
∴AC⊥平面PAC，∵PO?平面PBE，
∴AC⊥PO，又OA=OC，
∴△POA≌△POC，
∴PA=PC．
（2）取PE的中点M，连结FM，BM．
∵F，M分别是PD，PE的中点，
∴MF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∵BC∥AD，AD=3BC，AE=BC，
∴BC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∴BC$\stackrel{∥}{=}FM$．
∴四边形BCFM是平行四边形，
∴CF∥BM，
又BM?平面PBE，CF?平面PBE，
∴CF∥平面PBE．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，属于中档题．