Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，且a₂=4，S₅=30，数列{b_n}满足b₁+2b₂+…+nb_n=a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1＜4．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用递推关系、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₂=4，S₅=30，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\ 5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=30\end{array}\right.$，
解得a₁=2，d=2，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）由（1）可得b₁+2b₂+…+nb_n=2n①
所以当n≥2时，b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=2（n-1）②
①-②得nb_n=2，即${b_n}=\frac{2}{n}$，
又b₁=a₁=2也满足${b_n}=\frac{2}{n}$，∴${b_n}=\frac{2}{n}，n∈{N^+}$．
∴${b_n}•{b_{n+1}}=\frac{4}{n（n+1）}=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${b_1}{b_2}+{b_2}{b_3}+…+{b_n}b_{n+1}^{\;}=4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=4（1-\frac{1}{n+1}）＜4$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．