Question

20．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的半径为$\sqrt{2}$，圆心C的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）在极坐标系中，直线l：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）与圆C交于A、B两点，求|AB|；
（Ⅱ）在（I）条件下，将直线l向右平移4个单位得到l′，设点P是曲线C₁上的一个动点，求它到直线l′的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l和圆C的普通方程，计算圆心C到直线l的距离，利用垂径定理得出弦长|AB|；
（2）求出直线l′的方程，设P（3cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），代入点到直线的距离公式，利用三角函数恒等变换化简，根据正弦函数的性质求出距离的最小值．

解答 解：（1）直线l的直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}x-y=0$．
点C的直角坐标为（1，1），
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}-1|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}+1$．
（2）直线l′的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-4），即$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0．
∴P（3cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）到直线l′的距离d′=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ-4\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\sqrt{30}cos（θ+φ）-4\sqrt{3}|}{2}$．
∴当cos（θ+φ）=1时，d′取得最小值$\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{30}}{2}$．
∴P到直线l′的距离的最小值为$\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{30}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的对应关系，参数方程的应用，距离公式，属于中档题．