Question

18．定义函数f（x）如下：对于实数x，如果存在整数m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，则f（x）=m，则下列结论：
（1）f（x）是实数R上的递增函数；
（2）f（x）是周期为1的函数；
（3）f（x）是奇函数；
（4）函数f（x）的图象与直线y=x有且仅有一个交点，
则正确的结论的序号是（3）．

Answer 1

分析 直接利用对于实数x，如果存在整数m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，则f（x）=m，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：∵对于实数x，如果存在整数m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，则f（x）=m，
∴m-$\frac{1}{2}$＜x＜m+$\frac{1}{2}$，f（x）=m，
∴f（x）是实数R上的递增函数不正确；
又|x-m|＜$\frac{1}{2}$，则f（x）=m，m=0时，-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=0，m=1时，$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$时，f（x）=1，因此f（x）不是周期函数，（2）不正确；
（3）∵|x-m|=|-x+m|＜$\frac{1}{2}$，则f（-x）=-m，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，正确；
（4）由（3）可知，函数f（x）的图象与直线y=x有一个交点，根据奇函数的对称性，有2个交点，故不正确．
故答案为：（3）．

点评 本题考查新定义，考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，正确理解定义是关键．