Question

16．若实数x，y满足关系式x+y+1=0，则式子S=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+2}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用表达式的几何意义，可判断出x²+y²-2x-2y+2的最小值为点（1，1）到直线x+y+1=0的距离，代入公式计算即可．

解答 解：∵x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²．
式子S=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+2}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$，
∴S的最小值可看做为：点（1，1）与点（x，y）的距离．又∵点（1，1）到直线x+y+1=0的距离为
d=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴式子S=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+2}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查函数的最值的求法，可以利用二次函数的最值求解，本题的解答考查两点距离公式的理解，点到直线间距离公式的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．