Question

4．已知正项等比数列{a_n}中，2a₁+a₂=a₃，3a₆=8a₁a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n-nlog₂3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞1），利用已知条件建立方程组，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知${log_2}{a_n}={log_2}（3×{2^{n-1}}）={log_2}3+n-1$，进而利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞1），
由2a₁+a₂=a₃得$2{a_1}+{a_1}q={a_1}{q^2}$，
故q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1（舍去）．…（2分）
由3a₆=8a₁a₃得$3{a_1}{q^5}=8a_1^2{q^2}$，故a₁=3． …（4分）
于是数列{a_n}的通项公式为${a_n}=3×{2^{n-1}}$．…（6分）
（Ⅱ）由于${log_2}{a_n}={log_2}（3×{2^{n-1}}）={log_2}3+n-1$…（8分）
故b_n=（log₂3+0）+（log₂3+1）+（log₂3+2）…+（log₂3+n-1）-nlog₂3
=$1+2+…+（n-1）=\frac{n（n-1）}{2}$． …（12分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．