Question

11．若圆x²+（y-1）²=r²与曲线（x-1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（　　）

• A． 0＜r＜$\sqrt{2}$
• B． 0＜r＜$\frac{\sqrt{11}}{2}$
• C． 0＜r＜$\sqrt{3}$
• D． 0＜r＜$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=$\frac{1}{x-1}$相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．

解答 解：圆的圆心为（0，1），半径为r
设圆与曲线y=$\frac{1}{x-1}$相切的切点为（m，n），
可得n=$\frac{1}{m-1}$，①
y=$\frac{1}{x-1}$的导数为y′=-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
可得切线的斜率为-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$，
由两点的斜率公式可得$\frac{n-1}{m-0}$•（-$\frac{1}{（m-1）^{2}}$）=-1，
即为n-1=m（m-1）²，②
由①②可得n⁴-n³-n-1=0
化为（n²-n-1）（n²+1）=0，
即有n²-n-1=0，解得n=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\\{n=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
可得此时圆的半径r=$\sqrt{{m}^{2}+（n-1）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，
r的范围是（0，$\sqrt{3}$）．
另解：设双曲线与y轴交于B，延长BO'交双曲线于C，
O'A=O'B=$\sqrt{2}$，BC⊥AO'，
建立直角坐标系xO'y，双曲线的方程为x²-y²=2，
由AO'=$\sqrt{2}$，A在新坐标系下的坐标为（0，$\sqrt{2}$），
圆A方程变为x²+（y-$\sqrt{2}$）²=r²，
x²=y²+2，代入圆方程可得y²+2+y²-2$\sqrt{2}$y+2-r²=0，
运用△=8-4×2×（4-r²）＜0，
解得-$\sqrt{3}$＜r＜$\sqrt{3}$，
由r＞0，可得r的范围是（0，$\sqrt{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查圆与曲线的位置关系的判断，注意运用导数求得切线的斜率，考查化简整理的运算能力，属于中档题．