Question

20．已知cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，则sin（2α-$\frac{π}{6}$）的值为（　　）

• A． -$\frac{4}{9}$$\sqrt{2}$
• B． $\frac{4}{9}$$\sqrt{2}$
• C． ±$\frac{4}{9}$$\sqrt{2}$
• D． -$\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 法一、把sin（2α-$\frac{π}{6}$）化为sin[2（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{2}$]，利用诱导公式化为余弦，再代入二倍角的余弦公式求解；
法二、由已知求出sin（α-$\frac{π}{3}$），然后分类求得sin（$α-\frac{π}{12}$）和cos（$α-\frac{π}{12}$）的值，再代入二倍角公式求得sin（2α-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：法一、∵cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{6}$）=sin[2（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{2}$]=cos2（α-$\frac{π}{3}$）
=$2co{s}^{2}（α-\frac{π}{3}）-1=2×（\frac{1}{3}）^{2}-1=-\frac{7}{9}$．
故选：D．
法二、由cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，得sin（α-$\frac{π}{3}$）=$±\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴当sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，
cos（$α-\frac{π}{12}$）=cos[（$α-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（$α-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$$-sin（α-\frac{π}{3}）$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}$，
sin（$α-\frac{π}{12}$）=sin[（$α-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（$α-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$α-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{6}$）=sin2（α-$\frac{π}{12}$）=2sin（α-$\frac{π}{12}$）cos（α-$\frac{π}{12}$）=2$（\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3}）（\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}）$=$-\frac{7}{9}$；
当sin（$α-\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，
cos（$α-\frac{π}{12}$）=cos[（$α-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（$α-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$$-sin（α-\frac{π}{3}）$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3}$，
sin（$α-\frac{π}{12}$）=sin[（$α-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（$α-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$α-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$
=$-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{6}$）=sin2（α-$\frac{π}{12}$）=2sin（α-$\frac{π}{12}$）cos（α-$\frac{π}{12}$）=2$（\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3}）（\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}）$=$-\frac{7}{9}$．
综上，sin（2α-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{7}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查二倍角的余弦，考查了学生的计算能力，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．