Question

4．已知函数f（x）=e^x（ax²+bx+c）的导函数y=f′（x）的两个零点为-3和0．（其中e=2.71828…）
（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为-e³，求f（x）在区间[-5，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+c]，推导出ax²+（2a+b）x+b+c=0的两根为-3和0，从而得到b=-c，a=-c，由此能求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由f（x）=ae^x（x²+x-1），当a＞0时，由f（0）=-e³，解得c=-e³，a=e³；当a＜0时，由f（-3）=-e³，得a=-$\frac{{e}^{4}}{5}$，由此能求出f（x）在区间[-5，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=e^x（ax²+bx+c），
∴f′（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+c]，
∵导函数y=f′（x）的两个零点为-3和0，
∴ax²+（2a+b）x+b+c=0的两根为-3和0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c=0}\\{\frac{2a+b}{a}=3}\end{array}\right.$，即b=-c，a=-c，
f′（x）=e^x（ax²+3ax），a＞0，
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-3；令f′（x）＜0，解得-3＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（0，+∞），单调递减区间为（-3，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ae^x（x²+x-1），
当a＞0时，由（Ⅰ）知f（0）=-e³，解得c=-e³，a=e³，
在区间[-5，1]上，f（-3）=5，f（1）=e⁴，
∴f（x）_max=e⁴．
当a＜0时，f（-3）=-e³，解得a=-$\frac{{e}^{4}}{5}$，
在区间[-5，1]上，f（0）=$\frac{{e}^{4}}{5}$，f（-5）=-$\frac{19}{5}c$，
∴f（x）_max=$\frac{{e}^{4}}{5}$，
综上所述，当a＞0时，f（x）_max=e⁴，
当a＜0时，$f（x）_{max}=\frac{{e}^{4}}{5}$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．