Question

已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]，f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|（λ为常数），
求：（1）

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）的最小值是-

3

2

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．
（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数λ，把式子整理成关于cosx的二次函数形式，结合λ的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合题意的舍去．

解答：解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2

cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx≥0，
∴|

a

+

b

|=2cosx．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosx≤1，
①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

；
③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，这与λ＞1相矛盾、
综上所述，λ=

1

2

为所求．

点评：本题考查向量的数量积和模长，考查三角函数变换，考查二次函数的最值，考查分类讨论思想，是一个综合题，题目涉及的内容比较多，易错点是带有字母系数的二次函数最值问题．