Question

（本小题满分14分）

平面直角坐标系中，已知直线:，定点，动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若为轨迹上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线,（，为切点），求四边形面积的最大值．

Answer 1

（本小题满分14分）

解（1）设点到的距离为，依题意得，

即，                          ………………………………2分

整理得，轨迹的方程为．             ………………………………4分

（2）（法一）设 ，圆：，其中

由两切线存在可知，点在圆外，

所以，，即，

又为轨迹上的点，所以．

而，所以，，即． ……………………6分

由（1）知，为椭圆的左焦点，

根据椭圆定义知，，

所以，而，

所以，在直角三角形中，

，

，

由圆的性质知，四边形面积，其中．………10分

即（）．

令（），则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

所以，在时，取极大值，也是最大值，

此时．            …………………………14分

（法二）同法一，四边形面积，其中．…10分

所以．

由，解得，所以．  ……………………14分