Question

等差数列{a_n}的各项为正，其前n项和为S_n，且S₃=9，又a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当n≥2时，++…+＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₃=9，∴a₂=3，
∴a₁+2=3-d+2=5-d，
a₂+3=6，a₃+7=3+d+7=10+d，
∵a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
a_n=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵=
＜==，
∴当n≥2时，++…+
＜1+
=1+＜1+=．
分析：（Ⅰ）由S₃=9，得a₂=3，由a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列，解得d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由=＜=，利用裂项求和法能够证明当n≥2时，++…+＜．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．