Question

13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a²+bc=b²+c²
（1）求∠A的大小；
（2）若b=2，a=$\sqrt{3}$，求边c的大小；
（3）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，即可解得A．
（2）由（1）及余弦定理即可得解．
（3）由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，从而解得bc≤3，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵a²+bc=b²+c²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由（1）可得：$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4+{c}^{2}-3}{2×2×c}$，整理可得：c²-2c+1=0，
∴解得：c=1
（3）∵a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，解得：bc≤3，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$≤$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．