Question

3．已知$\underset{lim}{x→2}$$\frac{{x}^{2}+cx+2}{x-2}$=a，且函数y=alnx+$\frac{b}{x}$+c在（1，e）上具有单调性，则b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]∪[e，+∞）
• B． （-∞，0）∪[e，+∞）
• C． （-∞，e]
• D． [1，e]

Answer 1

分析 先由$\underset{lim}{x→2}$$\frac{{x}^{2}+cx+2}{x-2}$=a，求得a=1，c=-3，从而得到y=alnx+$\frac{b}{x}$+c=lnx+$\frac{b}{x}$-3，再由“函数y=alnx++c在（1，e）上具有单调性”转化为“y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$≥0或y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$≤0在（1，e）上恒成立”，再令t=$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{e}$，1）转化为-bt²+t≥0或-bt²+t≤0在（$\frac{1}{e}$，1）上恒成立，由二次函数的性质求解．

解答 解：∵$\underset{lim}{x→2}$$\frac{{x}^{2}+cx+2}{x-2}$=a，
∴a=1，c=-3，
∴y=alnx+$\frac{b}{x}$+c=lnx+$\frac{b}{x}$-3
∵函数y=alnx+$\frac{b}{x}$+c在（1，e）上具有单调性
∴y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$≥0或y′=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$≤0在（1，e）上恒成立
∴令t=$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{e}$，1）
∴-bt²+t≥0或-bt²+t≤0
∴b≤1或b≥e
故选：A．

点评 本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．