Question

11．在△ABC中，sin²A+cos²B=1，则cosA+cosB+cosC的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数间的基本关系和已知得到B=A，根据三角形的内角和定理得到C=π-A-B=π-2A，把B和C代入到所求的式子中，利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简可得关于cosA的二次函数，根据cosA的取值范围，利用二次函数求最值的方法得到原式的最大值．

解答 解：由sin²A+cos²B=1，得sin²A=sin²B，
∴A=B，又A+B+C=π，得C=π-A-B=π-2A，
则cosA+cosB+cosC=2cosA-cos2A=-2cos²A+2cosA+1．
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜cosA＜1．
∴cosA=$\frac{1}{2}$时，有最大值$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 此题是关于三角函数的化简和二次函数求最值的综合问题，要求学生灵活运用三角函数的恒等变换化简求值，属中档题．