Question

16．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b．

Answer 1

分析 根据f（C）=0，C为△ABC的内角，求出C的值；再由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
利用正弦定理、余弦定理求出a、b的值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
且f（C）=0，C为△ABC的内角，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得C=$\frac{π}{3}$；
又∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得b=2a；
又cosC=$\frac{1}{2}$，c=$\sqrt{3}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+（2a）}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}{2•a•2a}$=$\frac{1}{2}$；
解得a=1或a=-1（舍去），
∴b=2．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了正弦定理、余弦定理的应用问题，是综合性题目．