Question

5．设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使${b_1}=1，{b_n}=f（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）（n=2，3，4…）$，求数列{b_n}的通项b_n；
（3）求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析 （1）通过3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t与3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t作差、整理得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2t+3}{3t}$（n=2，3，…），进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=f$（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）=\frac{2}{3}$+b_n-1，即数列{b_n}是一个首项为1、公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，进而即得结论；
（3）通过b_n=$\frac{2n+1}{3}$可知数列{b_2n-1}和{b_2n}是首项分别为1和$\frac{5}{3}$、公差均为$\frac{4}{3}$的等差数列，并项取公因式，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a₁=S₁=1，S₂=1+a₂，
∴a₂=$\frac{3+2t}{3t}，\frac{a_2}{a_1}=\frac{3+2t}{3t}$
又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t     ①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t    ②
①-②得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2t+3}{3t}$，（n=2，3，…）
∴{a_n}是一个首项为1、公比为$\frac{2t+3}{3t}$的等比数列；
（2）解：∵f（t）=$\frac{2t+3}{3t}=\frac{2}{3}+\frac{1}{t}$，
∴b_n=f$（\frac{1}{{{b_{n-1}}}}）=\frac{2}{3}$+b_n-1．
∴数列{b_n}是一个首项为1、公差为$\frac{2}{3}$的等差数列．
∴b_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$；
（3）解：∵b_n=$\frac{2n+1}{3}$，
∴数列{b_2n-1}和{b_2n}是首项分别为1和$\frac{5}{3}$，公差均为$\frac{4}{3}$的等差数列，
于是b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+b₆（b₅-b₇）+…+b_2n（b_2n-1+b_2n+1）
=-$\frac{4}{3}$（b₂+b₄+…+b_2n）
=-$\frac{4}{3}\frac{1}{2}n（\frac{5}{3}+\frac{4n+1}{3}）$
=-$\frac{4}{9}$（2n²+3n）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．