Question

10．已知${S_n}=\sum_{i=1}^ni$，则$f（n）=\frac{S_n}{{（n+32）{S_{n+1}}}}$的最大值为$\frac{1}{50}$．

Answer 1

分析 通过求和公式可知${S_n}=\sum_{i=1}^ni$=$\frac{n（n+1）}{2}$，进而化简可知$f（n）=\frac{S_n}{{（n+32）{S_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n+\frac{64}{n}+34}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵${S_n}=\sum_{i=1}^ni$=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$f（n）=\frac{S_n}{{（n+32）{S_{n+1}}}}$
=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{（n+32）•\frac{（n+1）（n+2）}{2}}$
=$\frac{n}{{n}^{2}+34n+64}$
=$\frac{1}{n+\frac{64}{n}+34}$，
∵n+$\frac{64}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{64}{n}}$=16（当且仅当n=$\frac{64}{n}$即n=8时取等号），
∴$\frac{1}{n+\frac{64}{n}+34}$≤$\frac{1}{16+34}$=$\frac{1}{50}$，
即f（n）≤$\frac{1}{50}$，
故答案为：$\frac{1}{50}$．

点评 本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．