Question

1．已知α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，求cos（$\frac{π}{4}$+α）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和cos（β-$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的余弦公式求得 cos（$\frac{π}{4}$+α）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]的值．

解答 解：∵α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，∴sin（α+β）=$\frac{4}{5}$．
又 sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，故cos（β-$\frac{π}{4}$）=±$\frac{12}{13}$，
故当cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{12}{13}$时，
cos（$\frac{π}{4}$+α）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$．
当cos（β-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$时，
cos（$\frac{π}{4}$+α）=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}×（-\frac{12}{13}）$+$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，属于基础题．