Question

19．已知{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）令b_n=a_n3ⁿ，求{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列的公差为d，利用a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12计算即得结论；
（2）通过a_n=2n，可知b_n=2n•3ⁿ，利用错位相减法可求出1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ的值，进而可得结论．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，
则a₁+a₂+a₃=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=3a₁+3d=12，
又∵a₁=2，∴d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）∵a_n=2n，∴b_n=a_n3ⁿ=2n•3ⁿ，
记c_n=n•3ⁿ，数列{c_n}的前n项和为Q_n，
则Q_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，
∴3Q_n=1•3²+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2Q_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴Q_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}$•3ⁿ⁺¹，
∴数列{b_n}的前n项的和为2Q_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．