Question

4．在△ABC中，a=$\sqrt{5}$，b=3，sinC=2sinA
（Ⅰ）求边长c的长度；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可求$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，从而解得$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a=2×$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴$c=2\sqrt{5}$（6分）
（Ⅱ）$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（9分）
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=3$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．