Question

16．已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R
（1）若f（x）为R上的奇函数，求m，n的值；
（2）若常数n=-4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由f（0）=0，求得n=0，∴f（x）=x|x+m|．再由f（-1）=-f（1），求得m=0，从而得出结论．
（Ⅱ）由题意，当x∈[0，1]时，f（x）=x|x+m|-4＜0恒成立，当x=0时，显然满足条件．故当x∈（0，1]时，应有-x-$\frac{4}{x}$＜m＜-x+$\frac{4}{x}$ 恒成立．再利用导数求得-x-$\frac{4}{x}$的最小值和-x+$\frac{4}{x}$ 的最大值，可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ） 若函数f（x）=x|x+m|+n为奇函数，∴f（0）=0，即 n=0，∴f（x）=x|x+m|．
再由f（-1）=-f（1），有|m+1|=|m-1|，∴m=0，
此时，f（x）=x|x|是R上的奇函数，故所求m，n的值为m=n=0．
（Ⅱ）∵n=-4，当x∈[0，1]时，f（x）=x|x+m|-4＜0恒成立，当x=0时，显然满足条件．
∴当x∈（0，1]时，应有|x+m|＜$\frac{4}{x}$ 恒成立，可得-x-$\frac{4}{x}$＜m＜-x+$\frac{4}{x}$ 恒成立，
对m＜-x+$\frac{4}{x}$：令$g（x）=-x+\frac{4}{x}$，当x∈（0，1]时，$g'（x）=-1-\frac{8}{x^2}＜0$，
则g（x）在（0，1]上单调递减，∴m＜g（x）_min=g（1）=3．
对-x-$\frac{4}{x}$＜m：令$h（x）=-x-\frac{4}{x}$，当x∈（0，1]时，$h'（x）=-1+\frac{4}{x^2}＞0$，
则h（x）在（0，1]上单调递增，∴m＞h（x）_max=h（1）=-5．
故所求m的取值范围是-5＜m＜3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用导数求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．