Question

6．（1）解不等式$\frac{1}{x}＜1$；
（2）已知a，b∈（0，+∞），且a+2b=1，求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用解分式不等式的步骤解出即可；（2）将a+2b=1代入得：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=（a+2b）（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}$，利用基本不等式的性质解出即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{x}$＜1?$\frac{x-1}{x}＞0?x＞1$或x＜0，解集为（-∞，0）∪（1，+∞），
（2）$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=（a+2b）（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}$，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=（a+2b）（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}≥5+4=9$，
取等号当且仅当$a=b=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解分式不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．