Question

16．已知函数h（x）=ax-lnx（x∈R）（注：下列各个小问中e都为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当x=$\frac{1}{2}$是h（x）的极值点时，求曲线h（x）在点（1，h（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=2时，存在实数k，使不等式kx+1≤h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，求k的取值范围．
（Ⅲ）当x∈（0，$\frac{1}{e}$]时，求h（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，求出a的值，从而求出f′（1），f（1）的值，进而求出切线的方程；
（Ⅱ）问题等价于k≤2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，令f（x）=2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$，通过讨论f（x）的单调性，求出函数f（x）的最小值，从而求出k的范围；
（Ⅲ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（I）f（x）=ax-lnx，函数的定义域为（0，+∞），
求导函数可得：f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
当x=$\frac{1}{2}$是h（x）的极值点时，f′（$\frac{1}{2}$）=0，
解得：a=2，∴f（x）=2x-lnx，f′（x）=2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，f（1）=2，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（Ⅱ）a=2时，不等式kx+1≤h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，
等价于k≤2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]成立，
令f（x）=2-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}{x}$，则f′（x）=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$≥0，
∴f（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]单调递增，
∴f（x）_min=2-e，
∴k≤2-e；
（Ⅲ）h′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{e}$），
①a≤0时，ax-1＜0，h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，
②a＞0时，令h′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．