Question

7．已知M={（x，y）|x＞0，y＞0，x+y=k且x≠y}（其中k为常数，且k＞0）、
（1）若（x，y）∈M，设t=xy，求t的取值范围；
（2）若对任意（x，y）∈M均有（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）≠（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若（x，y）∈M，设t=xy，用k表示出t，结合一元二次函数的单调性即可求t的取值范围；
（2）若对任意（x，y）∈N，将（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）化简为t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，构造函数f（t）=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，如果讨论k的取值范围结合对勾函数的性质进行讨论即可求k的取值范围．

解答 解：（1）∵x+y=k，
∴y=k-x，
则t=x（k-x），x∈（0，$\frac{k}{2}$）∪（$\frac{k}{2}$，k），
由二次函数的单调性知t的取值范围是（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）；
（2）（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）=$\frac{1}{xy}$+xy-$\frac{x}{y}$-$\frac{y}{x}$=xy+$\frac{1}{xy}$-$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=xy-$\frac{{k}^{2}-1}{xy}+2$=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，
令f（t）=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，
①当k≥1时，f（t）在（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）上是增函数，
∴f（t）＜$\frac{{k}^{2}}{4}$-$\frac{4{k}^{2}-4}{{k}^{2}}+2$=$\frac{{k}^{2}}{4}$+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2=（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²；
此时满足对任意（x，y）∈N均有（$\frac{1}{x}$-x）（$\frac{1}{y}$-y）≠（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²，
②当0＜k＜1，f（t）=t-$\frac{{k}^{2}-1}{t}+2$，
则f（$\frac{k}{2}$-$\frac{2}{k}$）²=f（$\frac{{k}^{2}}{4}$），
此时f（t）在（0，$\sqrt{1-{k}^{2}}$）上单调递减，（$\sqrt{1-{k}^{2}}$，+∞）上递增，
且t∈（0，$\sqrt{1-{k}^{2}}$）时，f（t）∈（2$\sqrt{1-{k}^{2}}$+2，+∞），
t∈（$\sqrt{1-{k}^{2}}$，+∞），f（t）∈（2$\sqrt{1-{k}^{2}}$+2，+∞），
故当$\sqrt{1-{k}^{2}}$＜$\frac{{k}^{2}}{4}$时，必在（0，$\sqrt{1-{k}^{2}}$）上存在唯一的t₀使得则f（t₀）=f（$\frac{{k}^{2}}{4}$）与题意不合；，
当$\sqrt{1-{k}^{2}}$≥$\frac{{k}^{2}}{4}$时，f（t）在（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）上单调递减，故在（0，$\frac{{k}^{2}}{4}$）上不存在t₀使得则f（t₀）=f（$\frac{{k}^{2}}{4}$）；
由$\sqrt{1-{k}^{2}}$≥$\frac{{k}^{2}}{4}$得k⁴+16k²-16≤0，
解得0＜k²≤4$\sqrt{5}-8$，
即0＜k≤$\sqrt{4\sqrt{5}-8}$，
由①②可知k的取值范围是（0，$\sqrt{4\sqrt{5}-8}$）∪[1，+∞）．

点评 本题主要考查函数最值的问题，利用一元二次函数和对勾函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大，不好理解．