Question

4．已知函数f（x）=2lnx-x²+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）若对?x＞1，都有f（x）＜（x-$\frac{1}{x}$）（k-x），求实数k的取值范围；
（3）若a、b∈（1，+∞）且a≠b，求证：$\sqrt{ab}$＜$\frac{a-b}{lna-lnb}$＜（$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$）²．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得单调区间，注意定义域，即可得到极大值，无极小值；
（2）对?x＞1，都有f（x）＜（x-$\frac{1}{x}$）（k-x），即为k（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx＞0对x＞1恒成立，令g（x）=k（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，x＞1，求出导数，运用单调性，即可得到k的范围；
（3）运用分析法证明，先证$\sqrt{ab}$＜$\frac{a-b}{lna-lnb}$，可令m=$\sqrt{\frac{a}{b}}$（m＞1），设F（m）=m-$\frac{1}{m}$-2lnm，求出导数，判断单调递增；再证$\frac{a-b}{lna-lnb}$＜（$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$）²．令m=$\sqrt{\frac{a}{b}}$（m＞1），设H（m）=$\frac{m-1}{m+1}$-$\frac{1}{2}$lnm，求出导数，判断单调递减，即可得到．

解答 解：（1）函数f（x）=2lnx-x²+1的导数为
f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，（x＞0），
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则x=1处取得极大值，且为0；
（2）对?x＞1，都有f（x）＜（x-$\frac{1}{x}$）（k-x），
即为k（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx＞0对x＞1恒成立，
令g（x）=k（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，x＞1，g′（x）=k（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$
=$\frac{k{x}^{2}-2x+k}{{x}^{2}}$，
由于g（1）=0，x＞1恒成立，只需g（x）递增，
即g′（x）≥0恒成立，即有kx²-2x+k≥0在x＞1恒成立，
即k≥$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
由x+$\frac{1}{x}$＞2，即有$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$＜1，
故k≥1；
（3）证明：不妨设a＞b＞1，则lna＞lnb．
要证$\sqrt{ab}$＜$\frac{a-b}{lna-lnb}$，即证lna-lnb＜$\frac{a-b}{\sqrt{ab}}$，
即为ln$\frac{a}{b}$＜$\sqrt{\frac{a}{b}}$-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，即2ln$\sqrt{\frac{a}{b}}$＜$\sqrt{\frac{a}{b}}$-$\sqrt{\frac{b}{a}}$．
令m=$\sqrt{\frac{a}{b}}$（m＞1），设F（m）=m-$\frac{1}{m}$-2lnm，
F′（m）=1+$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{m}$=（$\frac{1}{m}$-1）²＞0恒成立，
即有m＞1，F（m）递增，则F（m）＞F（1）=0，
故2ln$\sqrt{\frac{a}{b}}$＜$\sqrt{\frac{a}{b}}$-$\sqrt{\frac{b}{a}}$成立，即有$\sqrt{ab}$＜$\frac{a-b}{lna-lnb}$；
要证$\frac{a-b}{lna-lnb}$＜（$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$）²．
即证$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{ln\frac{a}{b}}$＜（$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$）²．
即为$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$＜$\frac{1}{4}$ln$\frac{a}{b}$，即为$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}}-1}{\sqrt{\frac{a}{b}}+1}$＜$\frac{1}{2}$ln$\sqrt{\frac{a}{b}}$，
令m=$\sqrt{\frac{a}{b}}$（m＞1），设H（m）=$\frac{m-1}{m+1}$-$\frac{1}{2}$lnm，
H′（m）=$\frac{2}{（m+1）^{2}}$-$\frac{1}{2m}$=-$\frac{（m-1）^{2}}{2m（m+1）^{2}}$＜0恒成立，
即有H（m）在（1，+∞）递减，则H（m）＜H（1）=0，
即有$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}}-1}{\sqrt{\frac{a}{b}}+1}$＜$\frac{1}{2}$ln$\sqrt{\frac{a}{b}}$，故$\frac{a-b}{lna-lnb}$＜（$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$）²．
综上可得$\sqrt{ab}$＜$\frac{a-b}{lna-lnb}$＜（$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$）²．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查不等式恒成立问题注意运用函数的单调性，同时考查不等式的证明，注意构造函数运用单调性，属于中档题．