Question

8．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}均为等差数列，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$与$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中项，记T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，求得通项，由{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列，即有2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，得到d的方程，可得d=2，进而得到所求通项；
（2）运用等比数列的性质，求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由裂项相消求和可得{b_n}的前n项和，由不等式的性质即可得证．

解答 （1）解：设数列{a_n}的公差为d，
则a_n=1+（n-1）d，（d＞0），
由{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列，
即有2$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，
即为2$\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，
解得d=2，
则a_n=2n-1；
（2）证明：$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$与$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中项，
即有b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$•$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
即有T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，属于中档题．