Question

6．已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值；
（Ⅲ）求使不等式（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）≥p$\sqrt{2n+1}$对一切n∈N^*均成立的最大实数p．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将点A（2，1）和B（5，2）代入函数f（x）=log₃（ax+b）计算可知f（x）=log₃（2x-1），进而a_n=2n-1；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算可知T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，通过作商可知f（n）=$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$随着n的增大而减小，进而可得结论；
（Ⅲ）通过变形问题转化为求F（n）=$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）的最小值，通过作商可知F（n）随着n的增大而增大，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），
∴log₃（2a+b）=1，log₃（5a+b）=2，
∴2a+b=3，5a+b=9，
解得：a=2，b=-1，
∴f（x）=log₃（2x-1），
∴a_n=3^f（n）=${3}^{lo{g}_{3}（2n-1）}$=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•$\frac{1}{{2}^{1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
∵$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\frac{\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}}{\frac{2n+3}{{2}^{n}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2n+3}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$＜1（其中f（n）=$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$），
∴f（n）=$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$随着n的增大而减小，
∴T_n随着n的增大而增大，且$\underset{lim}{n→∞}$T_n=3，
又∵T_n＜m（m∈Z），
∴m的最小值为3；
（Ⅲ）∵不等式（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）≥p$\sqrt{2n+1}$对一切n∈N^*均成立，
∴p≤$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）对一切n∈N^*均成立，
记F（n）=$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
则$\frac{F（n+1）}{F（n）}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2n+3}}}{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}$•（1+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）=$\frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$•$\frac{2n+2}{2n+1}$=$\frac{2（n+1）}{\sqrt{4（n+1）^{2}-1}}$＞$\frac{2（n+1）}{\sqrt{4（n+1）^{2}}}$=1，
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），
∴F（n）随着n的增大而增大，
∴F（n）_min=F（1）=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴p≤$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，即p的最大值为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．