Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β．

Answer 1

解（Ⅰ）证明：由已知PA⊥AD，AB⊥AD，
所以∠PAB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，
由已知：平面PAD⊥平面ABCD，得PA⊥AB
又AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，且AB与AD相交
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α，
在△AFE中，可求得α=arctan

5

5

（Ⅲ）取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，
∴∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角．
可求得EM=

EA2+AM2

=

6

，同理EF=

6

，又FM=

1

2

BD=

2

，
∴在△MFE中，cos∠EFM=

EF2+FM2-ME2

2EF•FM

=

3

6

，
故异面直线EF与BD所成角为arccos

3

6

．