Question

已知f（x）=

x+a

x2+bx+1

（-1≤x≤1）为奇函数．
（1）求a、b值；
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

x+a

x2+bx+1

（-1≤x≤1）为奇函数，可知f（0）=0，求得a，再由f（-1）=-f（1）求得b，从而有关f（x）=

x

x2+1

 （2）用定义证明其单调性，先在给定的区间上任取两个变量且界定大小，再作差变形与零比较，要注意变形到位．

解答：解：（1）∵知f（x）=

x+a

x2+bx+1

（-1≤x≤1）为奇函数
∴f（0）=0
∴a=0，
又f（-1）=-f（1）
∴b=0
则a=0，b=0；
（2）分析可得f（x）=

x

x2+1

是增函数．
证明，任取x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0
∴是增函数．

点评：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式，利用单调性定义证明函数的单调性，是常规题，属中档题．