Question

若函数y=f（x）既是一次函数，又是奇函数，在（-∞，+∞）上又是增函数，且有f[f（x）]=4x，求函数y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根据函数类型利用待定系数法进行求解，然后根据奇偶性和单调性求出参数即可．

解答：解：∵函数y=f（x）是一次函数，
∴可设f（x）=ax+b（a≠0），…（2分）
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（0）=0∴b=0…（4分）
（或f（-x）=-f（x），
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0）
∴f（x）=ax，（a≠0）…（5分）
则f[f（x）]=a（ax）=a²x，…（8分）
∵f[f（x）]=4x，
∴a²=4，
解得a=2或a=-2，…（10分）
又f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f（x）=2x…（12分）

点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于基础题．