Question

0＜a＜

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

Answer 1

分析：分类讨论：①当a＜0时，不那组题意，②当a=0时，满足题意③a＞0时，二次函数对应的抛物线开口向上，对称轴为x=

1-a

a

，函数的减区间是（-∞，

1-a

a

]，要使函数在区间（-∞，4]上为减函数，则需区间（-∞，4]在对称轴左侧，即

1-a

a

≥4，解之可得a的范围．综合可得其充要条件是0≤a≤

1

5

，由集合的包含关系可得答案．

解答：解：①当a＜0时，二次函数对应的抛物线开口向下，对称轴为x=

1-a

a

，
故f（x）在（-∞，

1-a

a

]上单调递增，不可能满足在区间（-∞，4]上为减函数．
②当a=0时，f（x）=-2x+2，此时f（x）是一次函数，满足在区间（-∞，4]上为减函数．
③a＞0时，二次函数对应的抛物线开口向上，对称轴为x=

1-a

a

函数的减区间是（-∞，

1-a

a

]，要使函数在区间（-∞，4]上为减函数，
则需区间（-∞，4]在对称轴左侧，所以

1-a

a

≥4，解得a≤

1

5

．
综上可得函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充要条件是0≤a≤

1

5

．
因为{a|0＜a＜

1

5

}是{a|0≤a≤

1

5

}的真子集，
所以0＜a＜

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的充分不必要条件，
故选A

点评：本题考查充要条件的判断，涉及二次函数的单调性，以及分类讨论的思想，属中档题．