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(2011•自贡三模)给出下列5个命题:
①0<a≤
1
5
是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为单调减函数的充要条件
②如图所示,“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆叙道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用2cl和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长,则有a1-c1=a2-c2
③y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)的图象若相交,则交点必在直线y=x上;
④若a∈(π,
4
),则
1
1-tanα
>1+tanα>
2tanα

⑤函数f(x)=
e-x+3
e-x+2
(e是自然对数的底数)的最小值为2.
其中所有真命题的代号有
②④
②④
分析:①利用二次函数的性质,由其在区间(-∞,4]上为单调减函数解出参数的取值范围,依据依据充要条件的定义进行判断即可,
②由椭圆的性质进行判断即可,
③利用特例说明其不成立即可,如指数函数y=(
1
16
)x
的图象与对数函数y=log
1
16
x
的图象的交点有P(
1
2
1
4
),Q(
1
4
1
2
),就是不在直线y=x上的两个交点,由此可知原结论不正确,
④由a∈(π,
4
),可知0<tanα<1,可得(1-tanα)(1+tan)=1-tan2α<1,于是
1
1-tanα
>1+tanα;再根据均值不等式可得1+tanα>
2tanα

⑤由均值不等式可判断出不存在实数x使得等号成立,故函数f(x)不存在最小值.
解答:解:对于①:函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为单调减函数,若a=0时成立,若a>0时,必有-
a-1
a
≥4
解得a≤
1
5
,故可得出0≤a≤
1
5
,由此知①中的条件与结论之间是充分不必要条件.故不是真命题;
②由椭圆的性质知a1-Cl=a2-c2,即有a2+Cl=a1+c2,此四数构成一个等差数列,由基本不等式得c1a2>a1c2,故是真命题;
③指数函数y=(
1
16
)x
的图象与对数函数y=log
1
16
x
的图象的交点有P(
1
2
1
4
),Q(
1
4
1
2
),就是不在直线y=x上的两个交点,故不是真命题;
④∵由a∈(π,
4
),可知0<tanα<1,可得(1-tanα)(1+tan)=1-tan2α<1,再根据均值不等式可得1+tanα>
2tanα
,则
1
1-tanα
>1+tanα>
2tanα
,故是真命题;
⑤由均值不等式函数f(x)=f(x)=
e-x+3
e-x+2
=
e-x+2
+
1
e-x+2
≥2
,由e-x+2=1知不存在实数x使得等号成立,故函数f(x)不存在最小值,故不是真命题.
故答案为:②④.
点评:本题作为一个判断命题真假的题目,涉及到了函数的单调性椭圆的性质等内容,题目较难判断,每一个知识点都是高考中比较重要的,从中总结下对命题的考试与这些知识的衔接.综合考查了函数的单调性、最值,均值不等式,反函数等有关知识,对学生要求较高.属于难题.
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31
27
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π
4
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