Question

14．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且tan（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{7}$，则sin（2α-π）=$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及诱导公式求得tan2（α+$\frac{π}{4}$）=tan（2α+π）=tan2α，sin（2α-π）=-sin2α，根据α的取值范围，及tan2α＜0，求得2α的取值范围，根据同角三角关系即可求得sin2α的值，由诱导公式sin（2α-π）=-sin2α，即可求得sin（2α-π）的值．

解答 解：tan2（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2tan（α+\frac{π}{4}）}{1-ta{n}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2×（-\frac{1}{7}）}{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=-$\frac{7}{24}$，
∴tan（2α+π）=tan2α，
∴tan2α=-$\frac{7}{24}$，
α∈（$\frac{π}{2}$，π），2α∈（π，2π），
∵tan2α＜0，
∴2α∈（$\frac{3π}{2}$，2π），
由$\left\{\begin{array}{l}{tan2α=\frac{sin2α}{cos2α}}\\{si{n}^{2}2α+co{s}^{2}2α=1}\end{array}\right.$，解得：sin2α=-$\frac{7}{25}$，
sin（2α-π）=-sin2α=$\frac{7}{25}$，
故答案为：$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查三角恒等变形，考查二倍角公式、诱导公式及同角的三角关系，考查了计算能力，属于基础题．