Question

（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以

a

=(-1，-k)为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知，动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切，可得圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等，根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）直线l过点Q（0，-1），且以

a

=(-1，-k)为方向向量，所以直线方程为y=kx-1，联立直线与抛物线方程，求出向量

PA

，

PB

的坐标，根据∠PDB为钝角，则

PA

•

PB

＜0，可构造关于k的不等式，进而得到直线l斜率的取值范围．

解答：解：（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切
故圆心到点P（0，1）的距离等于半径，
且圆心到直线y=-1的距离等于半径，
即圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
故它的方程是x²=4y------------------------------------------------5′
（2）直线l过点Q（0，-1），且以

a

=(-1，-k)为方向向量，所以直线方程为y=kx-1，
代入x²=4y得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=4
所以

PA

=(x1，y1-1)，

PB

=(x2，y2-1)，∵∠PDB为钝角，∴

PA

•

PB

＜0
即x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0------------------------------------------------------------------10′
即4（1+k²）-2k×4k+4＜0，解得k＜-

2

，或k＞

2

②------------------------------12′
由①②得k＜-

2

，或k＞

2

-------------------------------------------------------------------------14′

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，数量积表示两个向量的夹角，轨迹方程，其中根据已知求出抛物线的方程是解答本题的关键．