精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(文)已知动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点Q(0,-1)且以为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点.若∠APB为钝角,求直线l斜率的取值范围.
【答案】分析:(1)由已知,动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切,可得圆心到定点P(0,1),及定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)直线l过点Q(0,-1),且以为方向向量,所以直线方程为y=kx-1,联立直线与抛物线方程,求出向量的坐标,根据∠PDB为钝角,则,可构造关于k的不等式,进而得到直线l斜率的取值范围.
解答:解:(1)∵动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切
故圆心到点P(0,1)的距离等于半径,
且圆心到直线y=-1的距离等于半径,
即圆心到定点P(0,1),及定直线y=-1的距离相等
圆心轨迹M是以P(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,
故它的方程是x2=4y------------------------------------------------5′
(2)直线l过点Q(0,-1),且以为方向向量,所以直线方程为y=kx-1,
代入x2=4y得x2-4kx+4=0,
由△=16k2-4×1×4>0得k<-1,或k>1①-------------------------------------7′
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4
所以,∵∠PDB为钝角,∴
即x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4<0------------------------------------------------------------------10′
即4(1+k2)-2k×4k+4<0,解得,或②------------------------------12′
由①②得,或-------------------------------------------------------------------------14′
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题,数量积表示两个向量的夹角,轨迹方程,其中根据已知求出抛物线的方程是解答本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(文)已知动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点Q(0,-1)且以
a
=(-1,-k)
为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点.若∠APB为钝角,求直线l斜率的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(09年长郡中学一模文)(13分)

已知圆,定点,点为圆上的动点,点上,点

上,且满足

(I)求点的轨迹的方程;

(II)过点作直线,与曲线交于,两点,是坐标原点,设 是否存在这样的直线,使四边形的对角线相等(即)?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.  

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(09年临沭县模块考试文)(14分)

       已知圆M的方程为:及定点N(3,0),动点P在圆M上运动,线

       段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于点Q,设点Q的轨迹为曲线C

   (Ⅰ)求曲线C的方程;

   (Ⅱ)试问:过点是否存在直线l,使直线l与曲线C交于AB两点,且

         ,(O为坐标原点)。若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理

         由。

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(文)已知动圆过定点P(0,1),且与定直线y=-1相切.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点Q(0,-1)且以
a
=(-1,-k)
为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点.若∠APB为钝角,求直线l斜率的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案